Naravna števila

23.01.2020 | Matematika

Naravna števila predstavitev

Naravna števila so števila, s katerimi štejemo. So prva števila, ki so jih ljudje poznali. Nastala so, ko je človek želel vedeti, koliko nečesa ima. Začnejo se torej z 1, nadaljujejo z 2, 3 itd. Število 0 ni vključeno med naravna števila, saj, kadar nečesa nimamo, tudi nimamo potrebe, da bi to prešteli. Naravna števila označimo z oznako $\mathbb{N}$ . Uporabljamo jih npr. pri zapisu hišnih številk, označevanju igralcev pri različnih športih, združevanju v množice – skupine po (ne)podobnostih itd.

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5 ...\}$

Peanovi aksiomi

Peanovi aksomi so zbirka vseh lastnosti naravnih števil. Dajmo jih najprej našteti, potem pa bom povedala, zakaj se tega matematiki sploh lotijo.

{P1}: 1 je naravno število.
{P2}: Vsako naravno število $x$ ima eno samo enega naslednika $x'$ , ki je tudi naravno število. Potem je $x$ predhodnik števila $x'$ .
{P3}: 1 nima predhodnika.
{P4}: Če je $x'=y'$ , je $x=y$ .
{P5}: Če je 1 element množice naravnih števil in če sta hkrati $x$ in $x'$ elementa te množice, potem ta množica vsebuje vsa naravna števila.

Vse te trditve se zdijo nekako samoumevne, očitne in skoraj se že razjezimo, zakaj moramo tako očitne in jasne stvari pisati. A ravno v tem je fora aksiomov. Aksiom je trditev, ki je tako očitna, da je ni treba dokazovati. Te trditve oziroma aksiomi tvorijo temelje nekega področja v matematiki. Iz teh osnovnih aksiomov matematiki nato raziskujejo in tvorijo kompleksnejše odnose med števili. Konkretno, Peanovi aksiomi so osnova, na kateri temelji načelo popolne ali matematične indukcije.

Naravna števila – računske operacije

Naravnih števil je neskončno, saj lahko vsakemu številu prištejemo 1 in dobimo novo število. V njih najdemo dve vrsti števil — soda števila in liha števila. Splošna oblika sodega števila je $2n,$ kjer je $n\in\mathbb{N}$ . Splošna oblika lihega števila pa je $2n-1,$ kjer je $n\in\mathbb{N}$ .

Zanimivost!

Si vedel/a, da s “štetjem na prste” ni nič narobe. Znanstveno je dokazano, da otroci, ki štejejo in izvajajo osnovne računske operacije na prste, računajo bolje od vrstnikov in imajo boljši spomin.
Si (bil/a) med njimi?

Seštevanje in množenje

Računske operacije z naravnimi števili

V množici naravnih števil obstajata dve osnovni računski operaciji. Lahko jih seštevamo in množimo. Odštevati ne moremo, saj rezultat ni vedno naravno število, npr. 3-5.
O odštevanju in deljenju pa bom govorila malo nižje.
Pri seštevanju in množenju veljajo pravila, ki jih že poznate:

$a+b = b+a$
$(a+b)+c=a+(b+c)$
$a\cdot b = b\cdot a$
$(a\cdot b) \cdot c = a\cdot (b \cdot c)$
$a(a+ b) = a\cdot b + a \cdot c$

Potence števil

Rekli smo torej, da lahko znotraj naravnih števil množimo. Od tod so matematiki dobili idejo, da definirajo potenco števila: ko število večkrat množimo samim s seboj.

$a^n=a\cdot a \cdot a \cdot a \cdot\cdot\cdot a$

Za potence veljajo naslednja pravila:

$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$
$(ab)^m = a^mb^m$
$(a^m)^n = a^{mn}$
$a^0=1$

Še posebej uporabne so potence števila $10$ : $10^1=10, 10^2=100, 10^3=1000 ...$ . Vsako število lahko zapišemo kot kombinacijo potenc števila $10$ .
Poglej:

$56735=5\cdot 10000+6\cdot 1000 + 7\cdot 100 + 3\cdot 10 + 5\cdot 1 =5\cdot 10^4+6\cdot 10^3 + 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 1o^0$

V spodnjem videu si lahko snov pogledaš še bolj podrobno:

Večkratniki števil

Z množenjem lahko tvorimo tudi večkratnike posameznega števila. Če vzamemo število $b$ , so števila $b,2b,3b,4b\dots$ njegovi večkratniki.

Odštevanje naravnih števil

Kot smo že zgoraj omenili, v množici naravnih števil odštevanje ni vedno izvršljiva računska operacija. Rezultat v primeru, da odštevamo večje število od manjšega, ni naravno število, saj je odštevanje obratna – inverzna operacija. Da bo pri odštevanju rezultat naravno število, lahko odštevamo le manjše število od večjega. Primer: 8-2=6 lahko izvedemo, saj je rezultat naravno število 6. Računska operacija 2-8 pa nam za rezultat ne da števila, ki bi spadal v množico naravnih števil.

Deljenje naravnih števil

Kaj pa deljenje? Podobno je kot pri odštevanju. Tudi to je obratna – inverzna računska operacija. Lahko se nam zgodi, da se dve naravni števili ne bosta zdelili oz., da njun količnik ni naravno število. Tak primer je npr. 5 deljeno z 2. Če zapišemo račun $5:2$ , rezultat (ki je $2,5$ ) ni naravno število. Zato pravimo, da v naravnih številih ne moremo deliti. So pa matematiki našli en obvoz, kako lahko deljenje na nek način vendarle vpeljamo v naravna števila, in sicer o tem govori osnovni izrek o deljenju. Pravi: če poljubni dve števili $a$ in $b$ delimo, ostajata števili $k$ in $r$ , tako da je

$a = k\cdot b + r$

Število $k$ je količnik, število $r$ pa ostanek. Zgornji primer števil $5$ in $2$ , zdaj lahko zapišemo kot $5=2\cdot 2+ 1$ . To je pravzaprav drugače zapisano deljenje z ostankom. V osnovni šoli ste zapisali $5:2 =2,$ ost. $1$ in iz tega zapisali preizkus $2\cdot2+1 =5$

Kadar se zgodi, da je ostanek r enak 0, pravimo, da število b deli a ali b|a, če zapišemo po matematično.

Matematiki so odkrili pravila, ki na enostaven način povejo, ali je neko število deljivo z npr. 2 ali 3 itd. Poglejmo jih:

Deljivost z $2$ : zadnja števka mora biti $0,2,4,6$ ali pa $8$
Deljivost s $5$ : zadnja števka mora biti $0$ ali $5$
Deljivost z $10$ : zadnja števka mora biti $0$
Deljivost s $3$ : vsota števk mora biti deljiva s $3$
Deljivost z $9$ : vsota števk mora biti deljiva z $9$
Deljivost s $4$ : zadnji dve števki tvorita število, ki je deljivo s $4$ .
Deljivost z $8$ : zadnje tri števke tvorijo število, ki je deljivo z $8$ .
Deljivost s $6$ : število je deljivo z $2$ in s $3$ hkrati.

Snov o deljivosti in večkratnikih si lahko pogledaš še v spodnjem videoposnetku.

Praštevila in sestavljena števila

Torej, ugotovili smo, da nekatera naravna števila lahko delimo med seboj, nekatera pa ne, saj pri deljenju dobimo ostanek (lahko pa zato uporabimo osnovni izrek o deljenju). Med raziskovanjem deljivosti v naravnih številih pa so matematiki odkrili ena posebna števila, ki jih še danes fascinirajo in o njih ne vedo vsega. To so praštevila — števila, ki jih lahko delimo le z $1$ ali samim seboj. Odkrili so, da jih je neskončno. Spodaj je napisanih le nekaj.

$\{2,3,5,7,11,13,17,19 \dots\}$

Matematiki med njimi že vrsto let iščejo nek vzorec, a ga še niso našli. Ena izmed težjih nalog, ki jih lahko date matematiku je, da naj preveri, ali je neko število praštevilo. Ogromno se jih že pozna, ampak še vedno, če je število dovolj veliko, je lahko zelo težko ugotoviti, ali je število praštevilo. Zato se tudi uporavljajo v kriptografiji.

Vsa ostala števila, ki niso praštevilo, so sestavljena števila, saj so sestavljena iz praštevil. Po definiciji so to števila, ki imajo več kot dva delitelja.
Npr. $24 = 6\cdot 4= 3\cdot 2 \cdot 2^2 = 2^3\cdot 3$

Video o praštevilih in sestavljenih številih:

Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik

Recimo, da imamo dve števili $a$ in $b$ . Izračunamo lahko največji skupni delitelj (to je največje število, ki deli obe števili) in najmanjši skupni večkratni (prvi večkratnik, ki se ponovi med večkratniki števila $a$ in števila $b$ ). Če vemo, iz katerih praštevil sta sestavljeni števili $a$ in $b$ , lahko največji skupni delitelj $D(a,b)$ in najmanjši skupni večkratnik $v(a,b)$ enostavo izračunamo. Kako se to naredi, si poglej v videoposnetku spodaj.

Evklidov algoritem

Za določanje največjega skupnega delitelja lahko uporabimo tudi Evklidov algoritem. Poglejmo si, kako konkretno izgleda to za števili 144 in 40. Začnemo tako, da večje število 144 delimo z manjšim 40. Dobimo količnik 3 in ostanek 24. To lahko zapišemo kot

$144 = 3\cdot 40 + 24$

Sedaj delitelja (v našem primeru 40) delimo z zgornjim ostankom (v našem primeru 24). Dobimo količnik 1 in ostanek 16. To lahko zapišemo kot

$40 = 1\cdot 24+16$

Sedaj ponovimo postopek. Deljitelja (število 24) delimo z ostankom (število 16). Dobimo količnik 1 in ostanek 8. To lahko zapišemo kot

$24 = 1\cdot 16 + 8$

Še nadaljujemo (ustavimo se, ko dobimo ostanek 0): delitelja (torej število 16) delimo z ostankom (število 8). Dobimo količnik 2 in ostanek 0. Torej

$16=2\cdot8 + 0.$

Zdaj, ko smo prišli do ostanka 0, zaključimo, da je 8 največji skupni delitelj.

Evklidov algoritem je postopek, ki ga vedno delamo enako. Zaključi se, ko po zgornjem postopku dobimo ostanek 0. Največji skupni delitelj je zadnji delitelj.

V spodnjih videih si lahko ogledaš nekaj nalog iz snovi
NARAVNA ŠTEVILA.

Izraz $5\cdot 8^3+6\cdot 16^2+3\cdot 4^5$ zapiši v obliki $k\cdot 2^n$ , kjer je $k,n\in\mathbb{N}$ .

V izrazu opazimo, da nastopajo potence števila 2, saj je $8=2^3, 16=2^4$ in $4=2^2$ . Izraz spremenimo tako, da števila spremenimo v potence števila 2, nato pa najnižjo izpostavimo. Kar dobimo poračunamo.

Če je naravno število $b$ večkratnik števila $12$ in število $8$ deli število $c$ , potem je $2b + 3c$ večkratnik števila $24$ .

Podatke iz navodila naloge zapišemo z matematičnim izrazom: $b=12k$ in 8|c (kar je enakovredno temu, da je c=8l). To vstavimo v izraz $2b+3c$ in poračunamo. Če smo naredili vse pravilno, bomo lahko izpostavili število 24. To naredimo in s tem je naloge konec, saj smo pokazali, da je $2b+3c$ večkratnik števila 24.

Poišči največji skupni delitelj $D$ in najmanjši skupni večkratnik $v$ števil 616 in 560.

Obe števili razcepimo na praštevila. Iz praštevilskega razcepa obeh števil razberemo največji skupni delitelj. To naredimo tako, da vzamemo vsa praštevila, ki se pojavljajo v obeh številih in mu dodamo ekponent, ki je najmanjši od obeh, ki se pojavljata. Najmanjši skupni večkratnik pa izračunamo kot produkt potenc vseh praštevil, ki jim dodamo najvišji eksponent.

Če razpolagaš s kakšno nalogo iz zgoraj opisane snovi, ki jo čisto dobro ne razumeš, jo prinesi k nam v Inštrukcije Horizont, kjer jo bomo skupaj z veseljem rešili.

INŠTRUKCIJE HORIZONT

Deli na družabnih omrežjih

Prijavi se na e-novice

Potrebuješ inštrukcije? Piši nam.

Kontakt

Informacije

Naravna števila

Naravna števila predstavitev

Peanovi aksiomi